Калькулятор дивергенции

Автор: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Калькулятор дивергенции

Вычислите дивергенцию векторного поля. Дивергенция измеряет скорость, с которой «плотность» покидает заданную область пространства, и является ключевым понятием векторного исчисления.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Ввод векторного поля

Параметры отображения

О дивергенции

Дивергенция — это скалярная величина, которая измеряет тенденцию векторного поля «вытекать» из точки или «втекать» в неё. Обозначается как ∇·F (набла точка F) или div F.

Математическое определение:

Для векторного поля F = (F₁, F₂, F₃) в трёхмерных декартовых координатах дивергенция определяется как:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Физическая интерпретация:

Дивергенция измеряет чистый поток поля из малого объёма вокруг точки. В данной точке:

  • Положительная дивергенция: поле вытекает наружу (источник)
  • Отрицательная дивергенция: поле втекает внутрь (сток)
  • Нулевая дивергенция: поле не имеет чистого оттока или притока (несжимаемое)
Дивергенция в различных системах координат:

Декартовы координаты (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Цилиндрические координаты (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Сферические координаты (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Применения:
  • Электромагнетизм: Закон Гаусса связывает дивергенцию электрического поля с плотностью заряда
  • Гидродинамика: Дивергенция поля скорости указывает на сжимаемость жидкостей
  • Теплопередача: Дивергенция теплового потока описывает источники или стоки тепла
  • Квантовая механика: Дивергенция плотности тока связана с сохранением заряда

Что такое калькулятор дивергенции?

Калькулятор дивергенции — это интерактивный инструмент, который помогает вычислить дивергенцию векторного поля в двумерном или трёхмерном пространстве. Дивергенция — это понятие из векторного анализа, показывающее, насколько векторное поле расходится или сходится в заданной точке. Инструмент поддерживает декартову, цилиндрическую и сферическую системы координат.

Он особенно полезен для студентов, инженеров и всех, кто работает с физическими полями, такими как потоки жидкости, электромагнетизм или термодинамика.

Формула дивергенции в декартовых координатах:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Ключевые возможности

  • Поддержка двумерных и трёхмерных векторных полей
  • Выбор между декартовой, цилиндрической и сферической системами координат
  • Возможность вычисления дивергенции в конкретной точке
  • Пошаговое разложение частных производных
  • Опция упрощения результатов и контроля точности десятичных знаков

Как пользоваться калькулятором

  1. Выберите количество измерений (2D или 3D).
  2. Выберите систему координат, соответствующую вашей задаче.
  3. Введите компоненты векторного поля (например, F₁, F₂, F₃).
  4. При необходимости включите опцию «Вычислить в точке», чтобы найти значение в конкретной точке.
  5. Настройте параметры отображения, такие как количество десятичных знаков или единицы измерения углов.
  6. Нажмите Вычислить дивергенцию, чтобы увидеть результат и, при желании, пошаговое решение.

Почему это полезно?

Понимание дивергенции помогает интерпретировать поведение поля в пространстве. Этот инструмент позволяет:

  • Наглядно и точно вычислять дивергенцию
  • Исследовать поведение полей в физике, инженерии и математике
  • Практиковаться в многомерном дифференцировании и работе с частными производными
  • Проверять результаты ручных вычислений или решений задач

Он особенно полезен в сочетании с такими инструментами, как Калькулятор частных производных, Калькулятор производной по направлению или Калькулятор ротора, особенно при изучении многомерного анализа.

Связанные инструменты

Этот калькулятор входит в семейство математических решателей, включающее:

  • Калькулятор частных производных — пошаговое вычисление частных производных
  • Калькулятор производной по направлению — анализ изменений векторного поля в заданном направлении
  • Калькулятор второй производной — оценка изменений второго порядка для углублённого анализа
  • Калькулятор ротора — вычисление ротора векторных полей для изучения вращательного поведения

Часто задаваемые вопросы

Что такое дивергенция?
Дивергенция показывает, насколько векторное поле расходится (положительная дивергенция) или сходится (отрицательная дивергенция) в данной точке.

Может ли этот инструмент вычислять частные производные?
Да. Калькулятор выполняет многомерное дифференцирование в фоновом режиме, вычисляя частные производные каждого компонента векторного поля.

В чём разница между декартовой, цилиндрической и сферической системами координат?
Это разные способы описания положения в пространстве. Декартова использует (x, y, z), цилиндрическая — (r, θ, z), а сферическая — (ρ, θ, φ). Выберите ту, которая лучше всего подходит для вашего поля или задачи.

Нужно ли вводить числа или функции?
Вы можете вводить выражения, такие как x*y*z, sin(θ) или r*cos(θ). Калькулятор работает с символьной математикой и может также вычислять значения в конкретных точках, если это указано.

Работает ли он для двумерных полей?
Да. Просто выберите 2D, и интерфейс соответствующим образом изменится. Третий компонент будет исключён.

Можно ли учиться по шагам?
Конечно. Если включена опция «Показать шаги решения», инструмент подробно объясняет, как вычисляются частные производные и как они объединяются в итоговое выражение дивергенции.