Векторный калькулятор

Автор: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Векторный калькулятор

Вычисление векторных операций, включая сложение, вычитание, скалярное произведение, векторное произведение и другие. Этот калькулятор поддерживает как 2D, так и 3D векторы и предоставляет пошаговые детали вычислений.

Ввод векторов

Вектор 1
Вектор 2

Параметры отображения

О векторных операциях

Векторы — это математические объекты, обладающие величиной и направлением. Они являются основополагающими в физике, инженерии, компьютерной графике и многих других областях. Этот калькулятор поддерживает основные векторные операции в 2D и 3D пространстве.

Основные векторные операции
  • Сложение: Складывает соответствующие компоненты двух векторов, в результате чего получается новый вектор.
  • Вычитание: Вычитает компоненты одного вектора из другого, полезно для нахождения векторов смещения.
  • Скалярное произведение: Скалярное произведение двух векторов, дающее одно число, связанное с углом между векторами.
  • Векторное произведение: Создает вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам (только в 3D).
  • Длина (модуль): Длина вектора, вычисляемая по теореме Пифагора.
  • Нормализация: Создает единичный вектор (длиной 1), направленный в ту же сторону, что и исходный вектор.
  • Угол между векторами: Вычисляется с помощью формулы скалярного произведения.
  • Проекция: Проецирует один вектор на другой, полезно в физике и графике.
  • Умножение на скаляр: Умножает вектор на скаляр, изменяя его длину, но не направление.
Применения

Векторные вычисления необходимы во многих областях:

  • Физика (силы, скорости, поля)
  • Инженерия (анализ конструкций, электрические цепи)
  • Компьютерная графика и разработка игр
  • Робототехника и навигация
  • Машинное обучение и анализ данных
  • Геометрия и линейная алгебра

Сложение векторов:

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$

Скалярное произведение:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

Векторное произведение:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$

Модуль вектора:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

Угол между векторами:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$

Проекция вектора:

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$

Нормализация:

$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$

Умножение на скаляр:

$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$

Что такое калькулятор векторов?

Калькулятор векторов — это простой в использовании онлайн-инструмент, который помогает выполнять основные операции с векторами в двумерном и трёхмерном пространстве. Он охватывает такие вычисления, как сложение и вычитание векторов, скалярное и векторное произведение, модуль, нормализация, угол между векторами, проекция и умножение на скаляр. Это делает его полезным для студентов, преподавателей, инженеров и всех, кто работает с линейной алгеброй или физикой.

Как пользоваться калькулятором векторов

  • Выберите количество измерений: 2D или 3D.
  • Выберите операцию с векторами, которую хотите выполнить, из выпадающего меню.
  • Введите компоненты векторов и скаляр (если необходимо).
  • Используйте опции для настройки точности десятичных знаков, отображения шагов вычислений или визуализации векторов.
  • Нажмите кнопку Рассчитать, чтобы получить результат.
  • Нажмите Сбросить, чтобы начать новое вычисление.

Ключевые особенности

  • Пошаговые результаты: Подробно объясняет каждый этап вычисления.
  • Поддержка 2D и 3D: Выберите размерность, соответствующую вашей задаче.
  • Интерактивная визуализация: Увидьте векторы и результаты на живом холсте.
  • Разнообразные операции: От простого сложения векторов до векторных произведений и проекций.
  • Контроль точности: Настройте количество десятичных знаков по своему усмотрению.

Зачем использовать этот калькулятор?

Векторная математика необходима во многих областях учёбы и работы. Этот калькулятор упрощает процесс, позволяя сосредоточиться на задаче, а не на вычислениях. Работаете ли вы над анализом сил в физике, данными о направлениях в компьютерной графике или решаете задачи по линейной алгебре — этот инструмент даёт точные ответы быстро.

Вы также можете использовать его вместе с другими инструментами, такими как Инструмент сложения векторов, чтобы изучить, как векторы объединяются, или Инструмент для вычисления модуля вектора, чтобы изолировать длину вектора. При работе с более широкими задачами, связанными с матрицами, вам могут пригодиться такие инструменты, как Калькулятор LU-разложения, Инструмент QR-факторизации и Инструмент для нахождения обратной матрицы.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое вектор?

Вектор — это величина, которая имеет как модуль (длину), так и направление. Векторы представляются координатами в двумерном или трёхмерном пространстве, например (x, y) или (x, y, z).

Можно ли использовать этот инструмент для задач по физике?

Да. Он полезен для решения задач, связанных с силой, скоростью, перемещением и другими векторными величинами в физике.

В чём разница между скалярным и векторным произведением?

Скалярное произведение даёт скалярное значение и связано с углом между двумя векторами. Векторное произведение даёт другой вектор, перпендикулярный исходным двум (только в 3D).

Что делать, если мне нужно только умножить вектор на число?

Используйте опцию умножения на скаляр, чтобы масштабировать вектор на постоянное значение (например, удвоить его длину).

Могу ли я увидеть, как было выполнено вычисление?

Да. Установите флажок «Показать шаги вычислений» перед расчётом, чтобы просмотреть подробное описание.

Связанные инструменты, которые могут быть полезны

  • Калькулятор умножения вектора на скаляр – Легко умножайте векторы на скаляры.
  • Калькулятор скалярного произведения – Быстро вычисляйте скалярные произведения.
  • Калькулятор векторного произведения – Работайте с умножением 3D-векторов.
  • Калькулятор обратной матрицы – Полезен для решения систем векторов с помощью матриц.
  • Инструмент LU-разложения матрицы – Разлагайте матрицы на нижние и верхние компоненты для решения систем.

Этот калькулятор векторов — практичный и надёжный инструмент для всех, кто изучает или работает с векторами. Он поддерживает широкий спектр операций и представляет результаты ясным и информативным образом.